モンティ・ホール問題
司会者がはずれのドアを 1 つ開けたあと、最初に選んだドアを変えるべきか、変えないべきか。
解説
考え方
3 枚のドアの 1 枚が当たり。挑戦者が 1 枚選ぶと、答えを知っている司会者が、残りからはずれを開ける。そのあと選択を変えてよい。変えない場合に当たる確率は 1/3、変える場合は 2/3。
なぜそうなるか
最初の選択が当たりである確率は 1/3 で、司会者がドアを開けてもこれは変わらない。最初がはずれ（確率 2/3）なら、司会者は当たりを開けないので、残った 1 枚が必ず当たり。つまり「変えて当たる」のは「最初がはずれ」のときで、確率 2/3。
ツールの成績
成績は、1 回ごとに「変えなかったら当たったか」と「変えたら当たったか」の両方を数える。変えたらどうなったかは、閉じたまま残ったほかのドアから 1 枚をでたらめに選んで決める。
基本の問題では、どの回も当たるのはどちらか一方だけなので、2 つの割合を足すと 100% になる。開ける枚数を減らしたり当たりを増やしたりすると、両方当たる回や両方はずれる回があるので、足しても 100% にならない。
開ける枚数を変える
D. L. ファーガソンは、ドアが n 枚で、司会者がはずれを p 枚開けてから変えるかどうかを聞く形に問題を広げた。このとき変えて当たる確率は (1/n) × (n − 1)/(n − p − 1) で、いつも 1/n より大きい。
「開ける枚数」のタブでは、開ける枚数を k と書く。k ＝ n − 2 が、司会者が 1 枚だけ残す基本の問題である。変える先が 1 枚は残らないといけないので、k は n − 2 までになる。
k ＝ 0 なら司会者は何も開けず、変えても変えなくても 1/n になる（式から計算した値）。
当たりが複数あるとき
「当たりが複数」のタブでは、当たりを m 枚にした形を、このツールで広げて計算する。
最初の選択が当たり（確率 m/n）なら、閉じているほかのドア n − 1 − k 枚に当たりは m − 1 枚ある。はずれ（確率 (n − m)/n）なら m 枚ある。そこから 1 枚をでたらめに選ぶと、変えて当たる確率は (m/n × (m − 1) ＋ (n − m)/n × m) ÷ (n − 1 − k) ＝ m(n − 1) / (n(n − 1 − k)) になる。
変えないと m/n なので、変えると (n − 1)/(n − 1 − k) 倍になる。この倍率は当たりの数 m によらないので、当たりが半分以上あっても、変える方が当たりやすい。
挑戦者がはずれを選んでいても、司会者がはずれだけを開けられるように、k は n − m − 1 までにする。
司会者が答えを知らないとき
司会者がコイントスで開けるドアを決め、中身に関係なく開ける（景品が出たら終わり）場合は、はずれが出たあとに変えても変えなくても、当たる確率は 1/2 になる。
「司会者が知らない」のタブでは、これをドア n 枚・開ける枚数 k に広げ、当たりが出たらやり直しにして計算する。司会者が開ける k 枚と挑戦者の 1 枚は、n 枚からでたらめに選んだのと同じなので、はずれだけが出たとき、当たりは閉じている n − k 枚のどれにも同じようにありうる。当たりが m 枚なら、変えても変えなくても m/(n − k) になる。
はずれだけが出て続けられる確率は C(n − m, k) / C(n, k) で、3 枚のときは 2/3 になる。
はじめに何枚か選ぶとき
「複数枚選ぶ」では、はじめに s 枚を選び、司会者が選ばれなかったドアから k 枚を開けたあと、選んだ s 枚のうち j 枚をでたらめに手放し、閉じているほかのドア（n − s − k 枚）から j 枚をでたらめに選び直す。このツールで広げて計算した形である。
知っている司会者は選ばれなかったドアしか開けないので、選んだ s 枚のそれぞれが当たりである確率は m/n のまま変わらない。閉じているほかのドアは、残りの当たりを分け合うので、1 枚あたり m(n − s)/(n(n − s − k)) になり、k ≧ 1 なら m/n より大きい。そのため、最後の s 枚に入る当たりの数の平均は (s − j) × m/n ＋ j × m(n − s)/(n(n − s − k)) で、変える枚数 j が多いほど大きい。
当たりが 1 枚以上入る確率は、選んだ s 枚の中の当たりの数（超幾何分布）ごとに、手放さずに残した s − j 枚と、選び直した j 枚がどちらもはずれになる確率をかけて足し、1 から引いて求める。たとえば n ＝ 10、s ＝ 3、m ＝ 2、k ＝ 4 なら、変えないと 8/15、全部変えると 14/15 になる（式から計算した値）。
司会者が答えを知らず、たまたまはずれだけを開けたときは、当たりは閉じている n − k 枚のどれにも同じだけありうるので、何枚変えても当たりやすさは同じになる。
確率の表
「確率の表」では、行をドアの数 n（3〜12）、列を司会者が開ける枚数 k（0〜10）にして、当たりの数 m と、司会者が答えを知っているかどうかを選び、変えて当たる確率・変えずに当たる確率・その差を並べる。
司会者が知っているときは、k が 1 枚以上ならどのマスでも変える方が当たりやすく、差は k ＝ n − 2 でいちばん大きい。知らないときは、どのマスでも差は 0 になる。
間違えやすい点
「残り 2 枚だから 1/2」ではない。司会者は無作為に開けているのではなく、はずれと知って開けている。
ドアを増やすと分かりやすい。100 枚で司会者が 98 枚を開けたら、残された 1 枚に当たりがある確率が高い。
司会者が答えを知らず、偶然はずれを開けただけなら、確率は 1/2 になる。この問題は、条件付き確率やベイズの定理を使って説明される。