ベンフォードの法則
多くのデータで、先頭の数字は 1 が約 30% と最も多い。2 の累乗やフィボナッチ数などで、log₁₀(1 ＋ 1/d) と比べる。
解説
考え方
実際の多くのデータでは、先頭の数字（最高位の数字）が 1 のものが最も多く、9 のものが最も少ない。先頭の数字が d である割合は log₁₀(1 ＋ 1/d) で、1 は約 30.1%、9 は約 4.6%。これをベンフォードの法則という。
2 の累乗・フィボナッチ数・階乗は、項を増やすとこの割合に近づくことが証明されている。1 〜 999 の一様な乱数では、先頭が 1 〜 9 の数が 111 個ずつなので、どれも 1/9（約 11.1%）になり、法則に従わない。
なぜそうなるか
x の先頭の数字が d になるのは、log₁₀ x の小数部分が log₁₀ d 以上 log₁₀(d ＋ 1) 未満のとき。2ⁿ のように一定の比で増える数では、対数の小数部分が 0 〜 1 にほぼ均等に散らばるので、割合はその区間の幅 log₁₀(d ＋ 1) − log₁₀ d になる。
補足
1881 年にニューカムが、1938 年にベンフォードが気づいた。会計データや選挙結果の不正を見つける手がかりに使われる。身長のように、桁がほぼそろったデータには当てはまらない。